Question

如图，曲线C₁是以原点O为中心，F₁、F₂为焦点的椭圆的一部分，曲线C₂是以原点O为顶点，F₂为焦点的抛物线的一部分，A(

3

2

，

6

)是曲线C₁和C₂的交点．
（Ⅰ）求曲线C₁和C₂所在的椭圆和抛物线的方程；
（Ⅱ）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C₁、C₂依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点，H为BE中点，问

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设曲线C₂所在的抛物线的方程为y²=2px，将A(

3

2

，

6

)代入可得p的值，利用椭圆的定义，可得曲线C₁所在的椭圆的方程；
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），过F₂与x轴不垂直的直线为x=ty+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得|y1-y2|=

(16t)2-4(-64)(9+8t2)

9+8t2

，同理可得|y3-y4|=

16t2+16

，进而可得

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

为定值．

解答：解：（Ⅰ）设曲线C₂所在的抛物线的方程为y²=2px，将A(

3

2

，

6

)代入可得6=2p×

3

2

，∴p=2
∴曲线C₂所在的抛物线方程为：y²=4x…（2分）
∴c=1，2a=

( 3 2 +1)2+( 6 )2

+

( 3 2 -1)2+( 6 )2

=6，
∴曲线C₁所在的椭圆的方程为

x2

9

+

y2

8

=1…（4分）
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），过F₂与x轴不垂直的直线为x=ty+1，与椭圆方程联立，消去x可得（9+8t²）y²+16ty-64=0，
∴y1+y2=-

16t

9+8t2

，y1y2=-

64

9+8t2

，…（6分）
∴|y1-y2|=

(16t)2-4(-64)(9+8t2)

9+8t2

直线x=ty+1，与抛物线方程联立，消去x可得y²-4ty-4=0，∴y₃+y₄=4t，y₃y₄=-4…（8分）
∴|y3-y4|=

16t2+16

∴

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

=

|y1-y2|• 1 2 |y3+y4|

|y3-y4|• 1 2 |y1+y2|

=

(16t)2-4(-64)(9+8t2) 9+8t2 •|4t|

16t2+16• |16t| 9+8t2

=3
即

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

为定值3．…（14分）

点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，联立方程，正确运用韦达定理是关键．