题目内容

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2 |
(Ⅰ)求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线方程;
(Ⅱ)过F2作一条与x轴不垂直的直线,分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点,若G为CD中点、H为BE中点,问
|BE|•|GF2| |
|CD|•|HF2| |
分析:(Ⅰ)因为椭圆的离心率为
,所以
=
,因为|AF1|=
|AF2|=
,所以可求出a,再根据
=
,求出C,就可得到b的值,求出椭圆方程.也就可得F2的坐标,再根据曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线,求出抛物线方程.
(Ⅱ)先设出B,E,C,D四点坐标,以及过F2作的与x轴不垂直的直线方程,分别代入椭圆方程和抛物线方程,求y1+y2,
y1y2,y3+y4,y3y4,再代入
,化简即可.
1 |
3 |
c |
a |
1 |
3 |
7 |
2 |
5 |
2 |
c |
a |
1 |
3 |
(Ⅱ)先设出B,E,C,D四点坐标,以及过F2作的与x轴不垂直的直线方程,分别代入椭圆方程和抛物线方程,求y1+y2,
y1y2,y3+y4,y3y4,再代入
|BE|•|GF2| |
|CD|•|HF2| |
解答:
解:(Ⅰ)设椭圆方程为
+
=1,则2a=|AF1|+|AF2|=
+
=6,得a=3
所以椭圆方程为
+
=1,抛物线方程为y2=4x.
(Ⅱ)设B(x1,y1),E(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),直线y=k(x-1),代入
+
=1得:8(
+1)2+9y2-72=0,即(8+9k2)y2+16ky-64k2=0
则=-
,y1y2=-
同理,y=k(x-1),代入y2=4x得,ky2-4y-4k=0
则y3+y4=
,y3y4=-4
∴
=
=3

x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
7 |
2 |
5 |
2 |
所以椭圆方程为
x2 |
9 |
y2 |
8 |
(Ⅱ)设B(x1,y1),E(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),直线y=k(x-1),代入
x2 |
9 |
y2 |
8 |
y |
k |
则=-
16k |
8+9k2 |
64k2 |
8+9k2 |
同理,y=k(x-1),代入y2=4x得,ky2-4y-4k=0
则y3+y4=
4 |
k |
∴
|BE|•|GF2| |
|CD|•|HF2| |
|y1-y2| |
|y3-y4| |
| ||
|
点评:本题考查了椭圆,抛物线方程的求法,以及直线与圆锥曲线位置关系的判断,做题时要细心.

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