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精英家教网如图,曲线C1是以原点O为中心、F1,F2为焦点的椭圆的一部分,曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分,A是曲线C1和C2的交点,曲线C1的离心率为
1
3
,若|AF1|=
7
2
|AF2|=
5
2

(Ⅰ)求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线方程;
(Ⅱ)过F2作一条与x轴不垂直的直线,分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点,若G为CD中点、H为BE中点,问
|BE|•|GF2|
|CD|•|HF2|
是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
分析:(Ⅰ)因为椭圆的离心率为
1
3
,所以
c
a
=
1
3
,因为|AF1|=
7
2
|AF2|=
5
2
,所以可求出a,再根据
c
a
=
1
3
,求出C,就可得到b的值,求出椭圆方程.也就可得F2的坐标,再根据曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线,求出抛物线方程.
(Ⅱ)先设出B,E,C,D四点坐标,以及过F2作的与x轴不垂直的直线方程,分别代入椭圆方程和抛物线方程,求y1+y2,
y1y2,y3+y4,y3y4,再代入
|BE|•|GF2|
|CD|•|HF2|
,化简即可.
解答:精英家教网解:(Ⅰ)设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
,则2a=|AF1|+|AF2|=
7
2
+
5
2
=6
,得a=3
所以椭圆方程为
x2
9
+
y2
8
=1
,抛物线方程为y2=4x.    
(Ⅱ)设B(x1,y1),E(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),直线y=k(x-1),代入
x2
9
+
y2
8
=1
得:8(
y
k
+1)2+9y2-72=0
,即(8+9k2)y2+16ky-64k2=0
则=-
16k
8+9k2
,y1y2=-
64k2
8+9k2

同理,y=k(x-1),代入y2=4x得,ky2-4y-4k=0
则y3+y4=
4
k
,y3y4=-4
|BE|•|GF2|
|CD|•|HF2|
=
|y1-y2|
|y3-y4|
1
2
|y1+y2|
1
2
|y3+y4|
=3
点评:本题考查了椭圆,抛物线方程的求法,以及直线与圆锥曲线位置关系的判断,做题时要细心.
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