Question

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最小值；
（Ⅱ）当b＞0时，求证：bb≥(

1

e

)

1

e

（其中e=2.718 28…是自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先对函数求导，令导函数大于0得到递增区间，令导函数小于0得到递减区间，进一步求出最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当b＞0时，有f(b)≥f(x)min=-

1

e

，整理可得要证的结论．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=lnx+1，（x＞0），令f'（x）≥0，即lnx≥-1=lne^-1．…（2分）
∵e=2.718，28…＞1，∴y=lnx在（0，+∞）上是单调递增函数．
∴x≥e-1=

1

e

．，∴x∈[

1

e

，+∞)．
同理，令f′(x)≤0可得x(0，

1

e

]．
∴f（x）单调递增区间为[

1

e

，+∞)，单调递减区间为(0，

1

e

]．…（6分）
由此可知y=f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

．…（8分）
（Ⅱ）由（I）可知当b＞0时，有f(b)≥f(x)min=-

1

e

，
∴blnb≥-

1

e

…（10分）
即ln(bb)≥-

1

e

=ln(

1

e

)

1

c

．∴bb≥(

1

e

)

1

c

．…（12分）

点评：本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．