题目内容
19、设函数f（x）=x-aex-1．
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围．
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围．
分析：（I）对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a的值小于进行讨论，得到函数的单调区间．
（II）这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当a≤0时，f（x）≤0不恒成立，又当a＞0时，f（x）在点x=1-lna处取最大值，求出a的范围．
（II）这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当a≤0时，f（x）≤0不恒成立，又当a＞0时，f（x）在点x=1-lna处取最大值，求出a的范围．
解答：解：（I）f′（x）=1-aex-1
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上是增函数；
当a＞0时，令f′（x）=0得x=1-lna
若x＜1-lna，则f′（x）＞0，从而f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数；
若x＞1-lna，，则f′（x）＜0，从而f（x）在区间（1-lna，+∞上是减函数．
（II）由（I）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立
又当a＞0时，f（x）在点x=1-lna处取最大值，
且f（1-lna）=1-lna-ae-lna=-lna
令-lna＜0得a≥1
故若f（x）≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上是增函数；
当a＞0时，令f′（x）=0得x=1-lna
若x＜1-lna，则f′（x）＞0，从而f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数；
若x＞1-lna，，则f′（x）＜0，从而f（x）在区间（1-lna，+∞上是减函数．
（II）由（I）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立
又当a＞0时，f（x）在点x=1-lna处取最大值，
且f（1-lna）=1-lna-ae-lna=-lna
令-lna＜0得a≥1
故若f（x）≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）
点评：本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．
练习册系列答案
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| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
| ||||||||
C、[-
| ||||||||
D、[-
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