Question

设函数f(x)=

1-x

ax

+lnx(a≠0)．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）在区间[

1

2

，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值；
（2）求导函数可得f′(x)=

ax-1

ax2

(x＞0)，分类讨论，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）在区间[

1

2

，2]上的最小值．

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=

1-x

x

+lnx（x＞0）
求导函数可得f′(x)=

x-1

x2

(x＞0)
令f′（x）＞0，可得x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函数在（0，1）上单调减，在（1，+∞）上单调增
∴函数的极小值为f（1）=0，无极大值；
（2）求导函数可得f′(x)=

ax-1

ax2

(x＞0)
①a＜0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间[

1

2

，2]上单调递增
∴f（x）_min=f（

1

2

）=

1

a

+ln

1

2

；
②a＞0时，（0，

1

a

）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；（

1

a

，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
1°当2≤

1

a

，即0＜a≤

1

2

时，函数f（x）在区间[

1

2

，2]上单调递减，∴f（x）_min=f（2）=-

1

2a

+ln2；
2°当

1

2

＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜2时，函数f（x）在区间[

1

2

，

1

a

]上单调递减，在[

1

a

，2]上单调递增
∴f（x）_min=f（

1

a

）=1-

1

a

+ln

1

a

；
3°当

1

a

≤

1

2

，即a≥2时，函数f（x）在区间[

1

2

，2]上单调递增，∴f（x）_min=f（

1

2

）=

1

a

+ln

1

2

；
综上，f（x）_min=

1 a +ln 1 2 ，a＜0或a≥2 1- 1 a +ln 1 a ， 1 2 ＜a＜2 - 1 2a +ln2，0＜a≤ 1 2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键．