Question

已知曲线f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011的值为

-1

．

Answer 1

分析：由f′（x）=（n+1）xⁿ，知k=f′（x）=n+1，故点P（1，1）处的切线方程为：y-1=（n+1）（x-1），令y=0，得xn=

n

n+1

，由此能求出log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011的值

解答：解：f′（x）=（n+1）xⁿ，
k=f′（x）=n+1，
点P（1，1）处的切线方程为：y-1=（n+1）（x-1），
令y=0得，x=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
即xn=

n

n+1

，
∴x₁×x₂×…×x₂₀₁₁=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2010

2011

×

2011

2012

=

1

2012

，
则log₂₀₁₂x₁+log₂₀₁₂x₂+…+log₂₀₁₂x₂₀₁₁
=log₂₀₁₂（x₁×x₂×…×x₂₀₁₁）
=log2012

1

2012

=-1．
故答案为-1

点评：本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．