Question

已知动点M到定直线l：x=-

3

2

的距离比到定点（

1

2

，0）的距离多1，
（I）求动点M的轨迹C的方程；
（II）设A（a，0）（a∈R），求曲线C上点P到点A距离的最小值d（a）

Answer 1

（1）设动点M的坐标为（x，y），
由已知条件可知，点M与定点（

1

2

，0）的距离等于它到直线x=-

1

2

的距离．
根据抛物线的定义，点M的轨迹是以定点（

1

2

，0）为焦点的抛物线．
因为

p

2

=

1

2

，所以p=1．即点M的轨迹方程为y²=2x；
（2）设抛物线上的点P（

y2

2

，y），y∈R．则
|PA|2=(

y2

2

-a)2+(y-0)2，整理得：
|PA|2=

y4

4

+(1-a)y2+a2．
令y²=t≥0，有：|PA|2=

t2

4

+(1-a)t+a2，（t≥0）
关于t的二次函数的对称轴为：t₀=2（a-1）．对对称轴位置作分类讨论如下：
①2（a-1）≤0时，a≤1，即t=1时，|PA|min2=a2，d（a）=|a|；
②2（a-1）＞0时，a＞1，即t=2（a-1）时，|PA|min2=2a-1，d（a）=

2a-1

．
所以d（a）=

|a|，a≤1 2a-1 ，a＞1

．