Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点，
(Ⅰ)求证：AB₁⊥平面A₁BD；
(Ⅱ)求二面角A-A₁D-B的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO， ∵△ABC为正三角形， ∴AO⊥BC， ∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， ∴AO⊥平面BCC1B1， 连结B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点， ∴B1O⊥BD， ∴AB1⊥BD， 在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B， ∴AB1⊥平面A1BD。 (Ⅱ)设AB1与A1B交于点C， 在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF， 由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD， ∴∠AFG为二面角A-A1B-B的平面角， 在△AA1D中，由等面积法可求得AF=， 又∵AG=， ∴， 所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin。