Question

若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间.

 （1）已知是上的正函数，求的等域区间；

 （2）试探究是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）因为是上的正函数，且在上单调递增，      所以当时， 即

     解锝，故的等域区间为    

（2）因为函数是上的减函数，

      所以当时，  即

     两式相减得，即，    

     代入得，

      由，且得， 

      故关于的方程在区间内有实数解，

      记，则  解锝.