Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）．
（1）求f（x）的单调递减区间；  
（2）设α∈（0，π），f（

α

2

）=

2

2

，求sinα的值．

Answer 1

分析：函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用积化和差公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（1）根据正弦函数的递减区间即可求出f（x）的递减区间；
（2）由f（

α

2

）=

2

2

，求出α的度数，即可求出sinα的值．

解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
（1）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得：kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z，
则f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z；
（2）f（

α

2

）=

2

sin（α+

π

4

）=

2

2

，
∴α=

5π

6

-

π

4

，
则sinα=sin（

5π

6

-

π

4

）=

6 + 2

4

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．