Question

已知椭圆

x2

4

+y2=1的焦点为F₁、F₂，抛物线y²=px（p＞0）与椭圆在第一象限的交点为Q，若∠F₁QF₂=60°．
（1）求△F₁QF₂的面积；
（2）求此抛物线的方程．

Answer 1

（1）∵Q在椭圆上，
∴|QF₁|+|QF₂|=4，
∴|QF1|2+2|QF1||QF2|+|QF2|2=16，…①
在△QF₁F₂中，∵∠F₁QF₂=60°，
∴|QF1|2+|QF2|2-2|QF1||QF2|cos60°=|F1F2|2=12…②
①-②，得：|QF1||QF2|=

4

3

，
∴S△QF1F2=

1

2

|QF1||QF2|sin60°=

3

3

．
（2）设Q（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0）
由（1）知，S△QF1F2=

1

2

|F1F2|y0=

3

3

，
∵|F₁F₂|=2c=2

4-1

=2

3

，
∴

3

y0=

3

3

，
故y0=

1

3

，
又Q点在椭圆上，所以

x 20

4

+

1

9

=1，
即x0=

4 2

3

，
故Q(

4 2

3

，

1

3

)．
又Q点在抛物线上，
所以(

1

3

)2=p×

4 2

3

，
∴p=

2

24

，
所以抛物线方程为y2=

2

24

x．