Question

已知抛物线和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点
 （1）求这两条曲线的方程；
 （2）直线l过轴上定点N（异于原点），与抛物线交于A、B两点且以AB为直径的圆过原点，试求出定点N的坐标。

Answer 1

解：（1）设抛物线方程为
将代入得p=2
∴抛物线方程为，焦点为
由题意知双曲线的焦点为
∴
对于双曲线，
∴，，
∴双曲线方程为：
（2）设l方程为
联立得
设
则
∴
∵以AB为直径的圆过原点
∴
∴
∴
∴N的坐标为（4，0）。