Question

已知等差数列的前项和为，且、成等比数列.
（1）求、的值；
（2）若数列满足，求数列的前项和.

Answer 1

（1），；（2）.

试题分析：（1）解法1是先令求出的表达式，然后令，得到计算出在的表达式，利用为等差数列得到满足通式，从而求出的值，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；解法2是在数列是等差数列的前提下，设其公差为，利用公式以及对应系数相等的特点得到、和、之间的等量关系，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和
视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出.
试题解析：（1）解法1：当时，，
当时，
.
是等差数列，
，得.
又，，，
、、成等比数列，
，即，解得.
解法2：设等差数列的公差为，
则.
，
，，.，，.
、、成等比数列，，
即，解得.
；
（2）解法1：由（1）得.
，.
，①
，②
①②得.
.
解法2：由（1）得.
，.
，①
由，
两边对取导数得，.
令，得.
.