Question

（2012•安徽模拟）已知函数f（x）=alnx+

1

2

x2-（1+a）x（a∈R）．
（1）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知命题P：f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，若命题P成立的充要条件是{a|a≤t}，求实数t的值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的正负，确定函数f（x）的单调区间；
（2）利用分类讨论，求出命题P成立的充要条件，再根据命题P成立的充要条件是{a|a≤t}，求实数t的值．

解答：解：求导函数，f′(x)=

a

x

+x-(1+a)=

(x-1)(x-a)

x

（Ⅰ）当0＜a＜1时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以函数f（x）的单调递增区间是（0，a），（1，+∞），单调递减区间（a，1）…（6分）
（Ⅱ）由于f(1)=-

1

2

-a，显然a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的，
当a≤0时，函数f（x）在区间（0，+∞）的极小值、也是最小值即是f(1)=-

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2

-a，此时只要f（1）≥0即可，解得a≤-

1

2

，
∴实数a的取值范围是(-∞，-

1

2

)．
∴P成立的充要条件为(-∞，-

1

2

)．
∵命题P成立的充要条件是{a|a≤t}，
∴t=-

1

2

．…（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查利用导数求函数的单调性，函数的最值，属于中档题．