Question

从双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一点P引实轴平行线交两渐近线于Q，R两点，则|PQ|•|PR|之值为

a²

．

Answer 1

分析：设P（x₀，y₀），可得Q（x₁，y₀），R（x₂，y₀），分别联立方程可得x₁=

a

b

y0，x₂=-

a

b

y0，代入可得|PQ|•|PR|=|x₁-x₀|•|x₂-x₀|，结合P（x₀，y₀）在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，代入消元可得．

解答：解：设P（x₀，y₀），可得Q（x₁，y₀），R（x₂，y₀）．
又可得渐近线方程为y=±

b

a

x，
联立

y= b a x y=y0

，解之可得x₁=

a

b

y0
同理可得x₂=-

a

b

y0，
故|PQ|•|PR|=|x₁-x₀|•|x₂-x₀|
=|（

a

b

y0-x0）（-

a

b

y0-x0）|=|x02-

a2

b2

y02|，
又P（x₀，y₀）在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，故

x02

a2

-

y02

b2

=1，
变形可得x02=(1+

y02

b2

)a2，代入上式可得
|PQ|•|PR|=|x02-

a2

b2

y02|=a²
故答案为：a²

点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及设而不求的思想，属中档题．