Question

若把满足二元二次不等式（组）的平面区域叫做二次平面域.

　　（1）画出9x²-16y²+144≤0对应的二次平面域；

　　（2）求x²+y²的最小值；

　　（3）求的取值范围.

　　

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：本题可以使用线性规划的基本思路，像二元一次不等式所示的区域一样，我们仍然可以用“线定界，点定域”的方法来确定9x2-16y2+144≤0所表示的平面区域. 解：(1)将原点坐标代入9x2-16y2+144，其值为144＞0，因此9x2-16y2+144≤0表示的平面区域如图所示的阴影部分，即双曲线-=1的含有焦点的区域. (2)设P(x，y)为该区域内任意一点，由上图可知，当P与双曲线的顶点(0，±4)重合时，|OP|取得最小值4.所以，x2+y2=|OP|2=16. (3)取Q(2，0)，则直线PQ的斜率为k=，其直线方程为y=k(x-2)，代入9x2-16y2+144=0得(9-16k2)x2+64k2x-64k2+144=0，由Δ=0得k=±，由图可知k≥或k≤-. 故所求的取值范围是(-∞，- ］∪［，+∞).