题目内容

16．设F1、F2分别是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（3，3），则|PM|-|PF2|的最小值为（　　）
A．5B．$\sqrt{13}$C．1D．$-\sqrt{13}$

分析 由题意画出图形，利用椭圆定义把|PM|-|PF2|转化为|PM|-（2a-|PF1|）=（|PM|+|PF1|）-4．然后求出|MF1|得答案．

解答 解：如图，
由椭圆方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得a=2，2a=4．
由椭圆定义知：|PF2|=2a-|PF1|，
∴|PM|-|PF2|=|PM|-（2a-|PF1|）=（|PM|+|PF1|）-4．
连接MF1 交椭圆于P，则P为满足条件的点．
此时|PM|+|PF1|最小，则（|PM|+|PF1|）-4最小．
∵F1（-1，0），M（3，3），
∴$|M{F}_{1}|=\sqrt{（3+1）^{2}+（3-0）^{2}}=5$，
∴|PM|-|PF2|的最小值为1．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆中最值的求法，体现了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．

练习册系列答案
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