Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}，公比q>1，且满足a₂a₄=64，a₃+2是a₂，a₄的等差中项.

   （1）求数列{a_n}的通项公式；

   （2）设，试比较A_n与B_n的大小，并证明你的结论.

Answer 1

解：（1）

       的等差中项，

      

       解得q=2或（舍去），

        

   （2）由（1）得，

       当n=1时，A₁=2，B₁=（1+1）²=4，A₁<B₁；

       当n=2时，A₂=6，B₂=（2+1）²=9，A₂<B₂；

       当n=3时，A₃=14，B₃=（3+1）²=16，A₃<B₃；

       当n=4时，A₄=30，B₄=（4+1）²=25，A₄>B₄；

       由上可猜想，当1≤n≤3时，A_n<B_n；当n≥4时，A_n>B_n.

       下面用数学归纳法给出证明：

       ①当n=4时，已验证不等式成立.

       ②假设n=k（k≥4）时，A_k>B_k.成立，即,

      

       即当n=k+1时不等式也成立，

       由①②知，当

       综上，当时，A_n<B_n；当