题目内容
已知数列{an}满足a1=1,an+1=
(n∈N*).(1)求a2,a3的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求证: 
＜
.
分析:本小题主要考查数列、数学归纳法、数列求和等基础知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识.
(1)解:∵a1=1,an+1=,
∴a2==,a3=
=
=
.
(2)解斨法一:∵a1=1,an+1=
,∴an＞0.
∴
=
=
+
=(1+
)2-1.
∴1+
=(1+
)2.
∴lg(1+
)=lg(1+
)2=2lg(1+
).
∴数列{lg(1+
)}是首项为lg(1+
)=lg2,公比为2的等比数列.∴lg(1+
)=2n-1·lg2=lg
.
∴1+
=
.∴an=
.
解法二:∵a1=1,an+1=
,∴an＞0.
∴
=(
)2.
∴lg(
)=lg(
)2=2lg(
).
∴数列{lg(
)}是首项为lg(
)=lg
,公比为2的等比数列.
∴lg(
)=2n-1·lg
=lg
.
∴
=
.∴an=
.
解法三:由(1)知a2=
=
=
,
a3=
=
,猜想:an=
.
下面用数学归纳法证明猜想成立.
①当n=1时,a1=1=
,猜想正确.
②假设当n=k(k∈N*)时,ak=
成立,
则ak+1=
=
=
=
=
.
∴当n=k+1时,猜想也正确.
由①②知对任意n∈N*,an=
.
(3)证明:由(2)得
.
∴
+…+
=
+(
)2+
+…+
.
∵2n-1=1+
+
+…+
,
当n≥4时,2n-1=1+
+
+…+
＞n+1.
当n≥4时,
＜(
)n+1,
∴
＜
+(
)2+
+［(
)5+(
)6+…+(
)n+1］
=
+
+
+
=
+
-(
)n+1=
-(
)n+1＜
.
容易验证当n=1,2,3时,
＜
也成立.
∴
＜
.
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