Question

【题目】若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间．

（1）已知是上的正函数，求的等域区间；

（2）试探究是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

【解析】

试题分析：（1）由定义得当时， 代入解析式解方程组即可；（2）假设是区间上的正函数，因为函数是上的减函数， 所以当时， 即， 两式相减可得代入得，由和得，故关于的方程在区间内有实数解，利用一元二次方程根的分布从对称轴、判别式和区间端点值三方面得不等式组解出即可；遇到这类题可以先画出符合的图像，在列不等式组比较好，否则容易漏解．

试题解析：（1）因为是上的正函数，且在上单调递增， 所以当时， 即，解锝，故的等域区间为．

（2）因为函数是上的减函数，

所以当时， 即

两式相减得，即，

代入得，

由，且得，

故关于的方程在区间内有实数解，

记，则 解得．