Question

已知函数和函数，其中为参数，且满足.
（1）若，写出函数的单调区间（无需证明）；
（2）若方程在上有唯一解，求实数的取值范围；
（3）若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）的单调增区间为，，单调减区间为；（2）或；（3）.

试题分析：（1）当时，，由二次函数的图像与性质可写出函数的单调区间；（2）先将在上有唯一解转化为在上有唯一解，进而两边平方得到或，要使时，有唯一解，则只须或即可，问题得以解决；（3）对任意，存在，使得成立的意思就是的值域应是的值域的子集，然后分别针对与两种情形进行讨论求解，最后将这两种情况求解出的的取值范围取并集即可.
试题解析：（1）时，                1分
函数的单调增区间为，，单调减区间为         4分
（2）由在上有唯一解
得在上有唯一解                    5分
即，解得或                      6分
由题意知或
即或
综上，的取值范围是或                      8分
（3）
则的值域应是的值域的子集                      9分
①时，在上单调递减，上单调递增，故  10分
在上单调递增，故                11分
所以，即                            12分
②当时，在上单调递减，故
在上单调递减，上单调递增，故
所以，解得.又，所以               13分
综上，的取值范围是                        14分.