Question

设函数f（x）=x+

1

x-2

，
（1）当x＞2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当x≥4时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=x+

1

x-2

改写成f（x）=（x-2）+

1

x-2

+2，然后利用基本不等式可求出函数f（x）的最小值，注意等号成立的条件；
（2）先求出导函数f′（x），然后根据x≥4可判断f′（x）的符号，从而得到函数的单调性，即可求出函数的最值．

解答：解：（1）∵x＞2，
∴x-2＞0，
∴f（x）=x+

1

x-2

=（x-2）+

1

x-2

+2≥2

(x-2) 1 x-2

+2=4，
当且仅当x-2=1，即x=3时取等号，
∴函数f（x）的最小值为f（3）=4；
（2）∵f（x）=x+

1

x-2

，
∴f′（x）=1-

1

(x-2)2

=

(x-3)(x-1)

(x-2)2

，
∵x≥4，
∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[4，+∞）上单调递增，
∴当x=4时，f（x）取得最小值为f（4）=4+

1

2

=

9

2

，
故函数f（x）的最小值为

9

2

．

点评：本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，熟练掌握基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性等是解题的关键．属于中档题．