Question

已知函数f（x）=x²-x+alnx在x=

3

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处取得极值．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程．
（2）求函数的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因为函数在x=

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处取得极值得到f′（

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）=0，解出a的值即可得到f′（x）的解析式，然后求出f′（1）即得到切线的斜率，写出切线方程即可；
（2）求出函数的定义域，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间．

解答：解：（1）f′(x)=2x-1+

a

x

=

2x2-x+a

x

，
∵f(x)在x=

3

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处取得极值，∴f′(

3

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)=0，
∴2×(

3

2

)2-

3

2

+a=0，∴a=-3，经检验符合题意，
∴f′（x）=

2x2-x-3

x

，
∴切线的斜率k=f′（1）=-2
则曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=-2（x-1），即2x+y-2=0；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当f′(x)=

2x2-x-3

x

＞0，可得x＞

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2

时，函数递增；
当f′（x）=

2x2-x-3

x

＜0，可得0＜x＜

3

2

时，函数递减，
则f（x）的单调递增区间为(

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，+∞)，单调递减区间为(0，

3

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)．

点评：考查学生会利用导数研究函数的极值和单调性，掌握求函数的增减区间转化为导函数大于或小于0时x的范围．