Question

如图，设P是圆x²+y²=25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|
（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意P是圆x²+y²=25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|，利用相关点法即可求轨迹；
（II）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度．
解答：解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y）P的坐标为（x_p，y_p）
由已知得：
∵P在圆上，
∴，即C的方程为．
（II）过点（3，0）且斜率为的直线方程为：，
设直线与C的交点为A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
将直线方程   即：，
∴线段AB的长度为|AB|= 
==．
点评：此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了联立直线方程与曲线方程进行整体代入，还有两点间的距离公式．