Question

【题目】设椭圆的左、右焦点分别为，，，是上的点，的面积最大值为，直线与交于两点，且（为坐标原点）

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：到直线的距离为定值，并求其定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析，

【解析】

（1）由题意可得，解得a、b、c，进而得椭圆的方程.

（2）利用分类讨论，当直线l斜率存在时，设其方程，代入椭圆方程，将转化为，即，再根据韦达定理及向量数量积的坐标运算，得出关于根据点到直线的距离公式得出

（1）设椭圆C的半焦距为c，由题意可知，

当P为椭圆C的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值.

所以，所以，，

故椭圆C的标准方程为.

（2）当直线l斜率存在时，设其方程为，

由 ，整理得：，

由，整理得：

设，，则由韦达定理得：

，

，即，

，

整理得，

化简得： ，满足，

点O到直线的距离为，

当直线斜率不存在时，由对称性可求得直线方程为，也满足题意.

故到直线的距离为定值，其值为.