Question

已知函数
（1）当，且时，求证： 
（2）是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是？若存在，则求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.

试题分析：（1）分时和时，根据绝对值的性质，可根据绝对值的定义，可将函数的解析式化为分段函数的形式，进而分析函数的单调性，结合函数的单调性证得结论
（2）根据（1）中结论，分①当、时，②当、时，③当、时，三种情况讨论、的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．
试题解析：（1），，
所以在（0，1）内递减，在（1，+）内递增.
由，且，即.

（2）不存在满足条件的实数.

①当时，在（0，1）内递减，
，所以不存在.
②当时，在（1，+）内递增，
是方程的根.
而方程无实根.所以不存在.
③当时，在（a，1）内递减，在（1，b）内递增，所以，
由题意知，所以不存在.