Question

若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是

 

．

Answer 1

分析：对（a+b+c）（b+c-a）=3bc化简整理得b²-bc+c²=a²，代入余弦定理中求得cosA，进而求得A=60°，又由sinA=2sinBcosC，
则

sinA

sinB

=2cosC，即

a

b

=2

a2+b2-c2

2ab

，化简可得b=c，结合A=60°，进而可判断三角形的形状．

解答：解：∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc
∴[（b+c）+a][（b+c）-a]=3bc
∴（b+c）²-a²=3bc
b²+2bc+c²-a²=3bc
b²-bc+c²=a²
根据余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA
∴b²-bc+c²=a²=b²+c²-2bccosA
bc=2bccosA
cosA=

1

2

∴A=60°
又由sinA=2sinBcosC，
则

sinA

sinB

=2cosC，即

a

b

=2

a2+b2-c2

2ab

，
化简可得，b²=c²，
即b=c，
∴△ABC是等边三角形
故答案为等边三角形．

点评：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式．