Question

【题目】已知拋物线：（），过点且斜率为1的直线与拋物线交于，两点，且为的中点.

（1）求拋物线的方程；

（2）设直线与轴交点为，若过的直线与拋物线交于，两点，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）写出直线方程，与抛物线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由根与系数关系，求出中点纵坐标，即可求解；

（2）由（1）得，设直线方程为，与抛物线方程联立，消去，得到，两点纵坐标乘积为定值，再结合抛物线方程，可得横坐标乘积为定值，进而证明结论.

（1）直线的方程为，

设，两点坐标分别为，，

将代入，

得，由，

知，即.

因此抛物线的方程为；

（2）由于的坐标为， 的斜率不为0，,

设的方程为，

，两点坐标分别为，.

联立方程，消去，

得恒成立，

故，由，，

故，

所以.