Question

已知数列{a_n}中，a₁=5且（n≥2且n∈N^*）．
（1）若数列为等差数列，求实数λ的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）方法1：∵a₁=5，
∴，．
设，由{b_n}为等差数列，则有2b₂=b₁+b₃．
∴．
∴．
解得 λ=-1．
事实上，===1，
综上可知，当λ=-1时，数列为首项是2、公差是1的等差数列．
方法2：∵数列为等差数列，
设，由{b_n}为等差数列，则有2b_n+1=b_n+b_n+2（n∈N^*）．
∴．
∴λ=4a_n+1-4a_n-a_n+2=2（a_n+1-2a_n）-（a_n+2-2a_n+1）=2（2ⁿ⁺¹-1）-（2ⁿ⁺²-1）=-1．
综上可知，当λ=-1时，数列为首项是2、公差是1的等差数列．
（2）由（1）知，，
∴．
∴．
即．
令，①
则． ②
②-①，得=n•2ⁿ⁺¹．
∴．
分析：（1）方法1：利用特殊到一般的方法，先探求实数λ的值，再验证一般性的结论成立；
方法2：设，由{b_n}为等差数列，则有2b_n+1=b_n+b_n+2（n∈N^*），由此可求实数λ的值；
（2）利用错位相减法，即可求数列{a_n}的前n项和S_n．
点评：本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．