Question

几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．
（1）求证：BA•DC=GC•AD；
（2）求BM．

Answer 1

分析：（1）根据AC⊥OB，及AD是圆O的直径，得到Rt△AGB和Rt△DCA相似，从而得到

BA

AD

=

AG

DC

，又GC=AG，所以

BA

AD

=

GC

DC

，从而得到证明；
（2）根据直角三角形中的边角关系求得BG，再根据直角三角形的相似及切割线定理求解即可．

解答：（1）证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°
又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°
又因为∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对圆周角）（3分）
所以Rt△AGB和Rt△DCA相似
所以

BA

AD

=

AG

DC

又因为OG⊥AC，所以GC=AG
所以

BA

AD

=

GC

DC

，即BA•DC=GC•AD（5分）
（2）解：因为AC=12，所以AG=6，
因为AB=10，所以BG=

AB2-AG2

=8
由（1）知：Rt△AGB～Rt△DCA，．所以

AB

AD

=

BG

AC

（8分）
所以AD=15，即圆的直径2r=15
又因为AB²=BM•（BM+2r），即BM²+15BM-100=0
解得BM=5（10分）．

点评：本题考查的与圆有关的比例线段、圆周角及相似三角形的判定和性质，切割线定理的运用的综合运用．