Question

在△ABC中，已知A（3，1），B（1，0），C（2，3），
（1）判断△ABC的形状；
（2）若线段BA的延长线上存在点P，使|

AP

|=

1

2

|

AB

|，求P点坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意求得|

AB

|=|

AC

|=

5

，

AB

⊥

AC

，从而得到△ABC的形状．
（2）设点P（a，b），由

AP

=

1

2

BA

，即（a-3，p-1）=

1

2

（2，1 ），求得a、b的值，即可求得P点坐标．

解答：解：（1）∵在△ABC中，已知A（3，1），B（1，0），C（2，3），
∴

AB

=(-2，-1)，

AC

=(-1，2)，

AB

•

AC

=0，
∴|

AB

|=|

AC

|=

5

，

AB

⊥

AC

，∴△ABC的形状是等腰直角三角形．
（2）设点P（a，b），则

AP

=（a，b）-（3，1）=（a-3，b-1）．
∵由题意可得

AP

=

1

2

BA

，即（a-3，b-1）=

1

2

（2，1 ）=（1，

1

2

），
∴a-3=1，b-1=

1

2

，解得 a=4，b=

3

2

，
故P点坐标为（4，

3

2

）．

点评：本题主要考查判断三角形的形状的方法，两个向量垂直的条件，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．