Question

设a＞1，若存在常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]满足xy=a^c，则a的取值范围为

1. A.
   {2}
2. B.
   （1，2]
3. C.
   [2，+∞）
4. D.
   [2，3]

Answer 1

C
分析：可以用x表达出y，转化为函数的值域问题，借助对数的性质解决即可．
解答：∵a＞1，
∴y=在x∈[a，2a]上单调递减，所以当x∈[a，2a]时，
∴，
∴2a²≤a^c≤a³，
∵a＞1，上式不等号两端取以a为底的对数得：log_a2+2≤c≤3，
∴0＜log_a2≤1，
∴a≥2，
故选C．
点评：本题考查函数的值域，考查函数y=的单调性，考查对数的运算性质，需要有较强的转化问题的能力，属于中档题．