Question

设直线y=x+b与椭圆

x2

2

+y2=1相交于A，B两个不同的点．
（1）求实数b的取值范围；
（2）当b=1时，求|

AB

|．

Answer 1

分析：（1）由直线y=x+b 与

x2

2

+y2=1由2个交点可得方程

y=x+b x2 2 +y2=1

有2个不同的解，整理得3x²+4bx+2b²-2=0有2个解△=16b²-12（2b²-2）＞0，解不等式可求
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当b=1 时，可求A，B的坐标，代入公式|

AB

|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

可求或利用弦长公式

解答：解：（1）将y=x+b 代入

x2

2

+y2=1，消去y，整理得3x²+4bx+2b²-2=0．①…（2分）
因为直线y=x+b 与椭圆

x2

2

+y2=1 相交于A，B 两个不同的点，
∴△=16b²-12（2b²-2）=24-8b²＞0（4分）
∴-

3

＜b＜

3

（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当b=1 时，方程①为3x²+4x=0．…（8分）
解得x1=0，x2=-

4

3

．
此时y1=1，y2=-

1

3

（10分）
∴|

AB

|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

4 2

3

（12分）
（利用弦长公式也可以）

点评：本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，方程思想的应用是解答直线与曲线位置关系的常用工具，要注意体会掌握