Question

已知椭C：+=1（a＞b＞0）的焦点为F₁，F₂，P是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且△PF₁F₂的周长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线的l是圆O：x²+y²=上动点P（x，y）（x-y≠0）处的切线，l与椭圆C交于不同的两点Q，R，证明：∠QOR的大小为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，可得b=c，利用△PF₁F₂的周长为4，可得a+c=，从而可求椭圆的几何量，进而可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线的l方程与椭圆方程联立，记Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），利用韦达定理，确定x₁x₂+y₁y₂=0，即可证得结论．
解答：（Ⅰ）解：因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以b=c，可得a=c，
又因为△PF₁F₂的周长为4，所以a+c=，所以c=，
所以a=2，b=，所以所求椭圆C的方程为．       …（5分）
（Ⅱ）证明：直线的l方程为，且x²+y²=，记Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
联立方程，消去y得（）x²-x+=0，
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，…（8分）
∴=，…（10分）
∴x₁x₂+y₁y₂=+=0
∴∠QOR=90°为定值．                                            …（13分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．