题目内容
（2012•江西模拟）过双曲线
-
=1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐进线的交点分别为B、C．若
=
，则双曲线的离心率是
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| BC |
| 5 |
| 5 |
分析：求出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出
和
，进而根据
=
求得a和b的关系，根据c2-a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．
| AB |
| BC |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| BC |
解答：解：直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B（
，
），
l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（
，
），
∵A（a，0），
∴
=（-
，
），
=（
，-
），
∵
=
，
∴-
=
，
∴b=2a，
∴c2-a2=4a2，
∴e2=
=5，∴e=
，
故答案为：
．
| a2 |
| a+b |
| ab |
| a+b |
l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（
| a2 |
| a-b |
| -ab |
| a-b |
∵A（a，0），
∴
| AB |
| ab |
| a+b |
| ab |
| a+b |
| BC |
| 2a2b |
| a2-b2 |
| 2a2b |
| a2-b2 |
∵
| AB |
| 1 |
| 2 |
| BC |
∴-
| ab |
| a+b |
| a2b |
| a2-b2 |
∴b=2a，
∴c2-a2=4a2，
∴e2=
| c2 |
| a2 |
| 5 |
故答案为：
| 5 |
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．
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