题目内容

已知函数 $数学公式$ ，x∈R．
（1）写出函数f（x）的对称轴方程、对称轴中心的坐标及单调区间．
（2）求函数f（x）在区间 $数学公式$ 上的最大值和最小值．

解：（1）在函数 $\text{[math]}$ ，x∈R中，令 2x- $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得
x= $\text{[math]}$ ，故函数f（x）的对称轴方程为 x= $\text{[math]}$ ，k∈z．
令 2x- $\text{[math]}$ =kπ，k∈z，可得 x= $\text{[math]}$ ，故对称轴中心的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），k∈z．
由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
故增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
由2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得 kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
故减区间为[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（2）由于 0≤x≤ $\text{[math]}$ ，∴- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，故当 x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）的最大值为2，
故当 x=- $\text{[math]}$ 时，函数f（x）的最小值为2×（ $\text{[math]}$ ）=-1．
分析：（1）在函数 $\text{[math]}$ ，x∈R中，令 2x- $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得称轴方程；令 2x- $\text{[math]}$ =kπ，可得对称轴中心的横坐标 x的值；由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得x的范围即得增区间；令2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得x的范围即得减区间．
（2）由x的范围求得- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，利用正弦函数的单调性求得最值．
点评：本题考查正弦函数的对称性、单调性、定义域和值域，掌握正弦函数的图象性质，是解题的关键．