Question

如图，在直三棱柱中，，，是的中点．

（1）求证：平行平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）只需证∥；（2）；（3）点为线段中点时，与成角.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：连结，交于点，连结.

由 是直三棱柱，

得 四边形为矩形，为的中点.

又为中点，所以为中位线，

所以 ∥，        

因为 平面，平面，

所以 ∥平面.  

（Ⅱ）由是直三棱柱，且，故两两垂直.

如图建立空间直角坐标系.设，

则.

所以 ， 

设平面的法向量为，则有

所以  取，得.

易知平面的法向量为.

由二面角是锐角，得 .

所以二面角的余弦值为.

（Ⅲ）假设存在满足条件的点.

因为在线段上，，，故可设，其中.

所以 ，.

因为与成角，所以.

即，解得，舍去.        

所以当点为线段中点时，与成角.

考点：线面平行的判定定理；二面角；异面直线所成的角。

点评：二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种：①综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。②向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。