Question

已知F₁、F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF₁为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF₁F₂的面积等于a²时，双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  6

  2

• D、2

Answer 1

分析：先设F₁F₂=2c，由题意知△F₁F₂P是直角三角形，进而在RT△PF₁F₂中结合双曲线的定义和△PF₁F₂的面积，进而根据双曲线的简单性质求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．

解答：解：设F₁F₂=2c，由题意知△F₁F₂P是直角三角形，
∴F₁P²+F₂P²=F₁F₂²，
又根据曲线的定义得：
F₁P-F₂P=2a，
平方得：F₁P²+F₂P²-2F₁P×F₂P=4a²
 从而得出F₁F₂²-2F₁P×F₂P=4a²
∴F₁P×F₂P=2（c²-a²）
又当△PF₁F₂的面积等于a²
即

1

2

F₁P×F₂P=a²
2（c²-a²）=a²
∴c=

2

a，
∴双曲线的离心率e=

c

a

=

2

．
故选A．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．属基础题．