题目内容
椭圆C的中心在原点，并以双曲线
的焦点为焦点，以抛物线
的准线到原点的距离为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线l′：y=mx+1（m≠0）对称，求k的值．
【答案】分析：（1）确定双曲线的焦点坐标，抛物线的准线方程，利用条件，求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）根据题设，可得
，利用
，结合弦AB的中点在直线上，即可求得k的值．
解答：解：（1）在双曲线
中，
，
∴焦点为
．
在抛物线
中，
，∴准线为
．
∴在椭圆中，
．从而
．
∴所求椭圆C的方程为
．
（2）设弦AB的中点为P（x，y），则点P是直线l与直线l′的交点，且直线l⊥l′，∴
．
由
得：
，∴ky=-3x．…①
由
得：ky=-x+k．…②
由①、②得：
．
又∵y=kx+2，∴
，即k2=1，∴k=±1．
在y=kx+2中，当x=0时，y=2，即直线l经过定点M（0，2）．
而定点M（0，2）在椭圆的内部，故直线l与椭圆一定相交于两个不同的交点，
∴k的值为±1．
点评：本题考查椭圆的方程，考查双曲线、抛物线的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
（2）根据题设，可得
，利用，结合弦AB的中点在直线上，即可求得k的值．解答：解：（1）在双曲线
中，，∴焦点为
．在抛物线
中，，∴准线为．∴在椭圆中，
．从而．∴所求椭圆C的方程为
．（2）设弦AB的中点为P（x，y），则点P是直线l与直线l′的交点，且直线l⊥l′，∴
．由
得：，∴ky=-3x．…①由
得：ky=-x+k．…②由①、②得：
．又∵y=kx+2，∴
，即k2=1，∴k=±1．在y=kx+2中，当x=0时，y=2，即直线l经过定点M（0，2）．
而定点M（0，2）在椭圆的内部，故直线l与椭圆一定相交于两个不同的交点，
∴k的值为±1．
点评：本题考查椭圆的方程，考查双曲线、抛物线的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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