Question

设椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为

2

2

，其一个顶点的坐标是（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为2的直线l过椭圆C在y轴正半轴上的焦点，且与该椭圆交于A、B两点，求AB的中点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程，利用离心率为

2

2

，其一个顶点的坐标是（1，0），求出几何量，即可求得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程．利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，其焦点为（0，±c）（2分）
由已知得 b²=1，

c

a

=

2

2

，（6分）
又a²=b²+c²（8分）∴a²=2，c=1
∴椭圆C的标准方程为

y2

2

+x2=1（9分）
（Ⅱ）直线l的方程为 y-1=2（x-0），即y=2x+1
设A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
AB中点坐标为M（x₀，y₀）
由

y2 2 +x2=1 y=2x+1

得6x²+4x-1=0（12分）
∴x1+x2=-

4

6

=-

2

3

，x0=

x1+x2

2

=-

1

3

y0=

y1+y2

2

=x1+x2+1=

1

3

∴AB中点坐标为M(-

1

3

，

1

3

)（15分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．