Question

已知函数f(x)=axlnx图像上点（e，f(e)）处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数f(x)在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；
（Ⅲ）对一切x∈(0，e]，3 f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）由点处的切线方程与直线2x-y=0平行，
得该切线斜率为2，即，
又，令，
所以，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
显然时，，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增，
①时，；
②时，函数在[n，n+2]上单调递增，
因此，
所以。
（Ⅲ）对一切恒成立，
又，
∴，即，
设，
则，
由，得x=1或x=2，
∴单调递增，
单调递减，
单调递增，
∴，且，
所以，，
因为对一切恒成立，
∴，
故实数t的取值范围为。