Question

【题目】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面， ， ， 是中点.

(1)证明：直线平面；

(2)点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：(1)取的中点，连结，通过证明，利用直线与平面平行得判定定理证明即可；(2) 由已知得，以为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长，建立空间直角坐标系，由与底面所成的角为，求得的坐标，再求出平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可求解二面角的余弦值即可.

试题解析：(1)取的中点，连结，

∵是中点

∴，

由，得

又∵

∴， ，则四边形为平行四边形

∴，

又∵平面， 平面

∴平面.

(2)由已知得，以为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

则， ， ， ， ， ，

设 ，则， ，

∵与底面所成的角为，而是底面的法向量，

∴， ，即.①

又在棱上，设，则

， ， ，②

由①，②得， .

∴，从而，

设是平面的法向量，则

，即，

∴可取，于是，

∴二面角的余弦值为.