Question

（2006•嘉定区二模）如图，在四面体ABCD中，AB=CD=6，异面直线AB、CD所成角的大小是arccos

1

3

，M、N分别是AC、BD的中点．求线段MN的长．

Answer 1

分析：取AD中点E，连结EM、EN，则EM∥CD，EN∥AB，于是∠MEN（或其补角）是异面直线AB与CD所成的角，利用余弦定理构造MN的方程可得答案．

解答：解：取AD中点E，连结EM、EN，则EM∥CD，EN∥AB，于是∠MEN（或其补角）是异面直线AB与CD所成的角…（1分）
当cos∠MEN=

1

3

，则MN2=ME2+NE2-2•ME•NE•

1

3

=32+32-2•3•3•

1

3

=12，MN=2

3

…（6分）
当cos∠MEN=-

1

3

，
则MN2=ME2+NE2+2•ME•NE•

1

3

=32+32+2•3•3•

1

3

=24，MN=2

6

…（11分）
∴MN的长为2

3

或2

6

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是空间两点之间的距离，其中作辅助线构造出∠MEN（或其补角）是异面直线AB与CD所成的角，是解答的关键．