Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数g（x）=ax²-2ax+b+1=a（x-1）²+1+b-a，
因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故 ，解得． …．（6分）
（2）由已知可得f（x）=x+-2，
所以，不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化为 2^x+-2≥k•2^x，
化为 1+-2•≥k，令t=，则 k≤t²-2t+1，因 x∈[-1，1]，故 t∈[，2]，
记h（t）=t²-2t+1，因为 t∈[，2]，故 h（t）_min=0，
所以k的取值范围是（-∞，0]． …（14分）
分析：（1）由函数g（x）=a（x-1）²+1+b-a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故 ，由此解得
a、b的值．
（2）不等式可化为 2^x+-2≥k•2^x，故有 k≤t²-2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t²-2t+1的最小值，从而求得k
的取值范围．
点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的零点与方程根的关系，函数的恒成立问题，属于中档题．