Question

已知函数f（x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行，求a的值
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上不单调，求实数a的取值范围；
（3）求所有的实数a，使得f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．

Answer 1

（1）由题意得f'（x）=3x²+2ax-（2a+3），所以f'（-1）=3-2a-（2a+3）=2，解得a=-

1

2

.4分
（2）函数的导数f'（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3），
由f'（x）=0，得x=1或x=-

2a+3

3

，因为f（x）在区间（1，+∞）上不单调，
所以-

2a+3

3

＞1，故a＜-3．
（3）因为f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．所以当x∈[-1，1]时，f（x）_min＞0，
①当-

2a+3

3

≥1即时，a≤-3时，函数f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
所以fmin?(x)=f(-1)=a2+3a+2＞0，解得a＞-1或a＜-2．
故a≤-3             11分
②当-1＜-

2a+3

3

＜1，即-3＜a＜0时，
函数f（x）在[-1，-

2a+3

3

]上为增函数，在[-

2a+3

3

，1]上为减函数
所以f_min（x）=min{f（-1），f（1）}，
故

f(-1)=a2+3a+2＞0 f(1)=a2-a-2＞0

，所以a＞2或a＜-2，
所以-3＜a＜-2         13分
③当-

2a+3

3

≤-1即a≥0，函数f（x）在x∈[-1，1]上为减函数，
所以fmin?(x)=f(1)=a2-a-2＞0
所以a＞2或a＜-1，
故a＞2
综上所述，实数a得取值范围为a＞2或a＜-2．              15分