Question

直线l过点P(8，6)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．

Answer 1

答案：x－y－2=0$x＋y－14＝0
解析：

思维分析1：直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形，必须且只需直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0． 解法1：设直线l的方程为，或(a≠0)． 当直线l的方程为时， ∵点P(8，6)在直线l上， ∴，∴a＝14． ∴直线l的方程为x＋y－14=0． 当直线l的方程为时，同理可求得a=2． ∴直线l的方程为x－y－2=0． 综上可知，适合题意的直线l的方程为x－y－2=0，或x＋y－14＝0． 思维分析2：所求直线与两坐标轴围成三角形，可知直线的斜率存在且不为零．因此，设出直线方程的点斜式． 解法2：设所求直线的方程为y＝kx＋b(k≠0，b≠0)． 令x＝0，得y=b；y=0，得． ∵直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形， ∴． 又∵，∴． ①当是k=1时，直线l的方程为y＝x+b， ∵点P(8，6)在该直线上，∴b=－2． ∴直线l的方程为y＝x－2，即x－y－2＝0． ②当k＝－1时，直线l的方程为y=－x+b， ∵点P(8，6)在该直线上，∴b=14． ∴直线l的方程为y＝－x＋14，即x＋y－14＝0． 综上可知，适合题意的直线l的方程为x－y－2＝0， 或x＋y－14＝0． 解法3：∵直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形，设斜边所在的直线为l， ∴直线l的倾斜角为或． ∴直线l的斜率为k＝1，或k=－1． 又∵l过点P， ∴由点斜式得l的方程为 y－6=x－8，或y－6=－(x－8)， 即x－y－2＝0，或x＋y－14=0． 点拨：本题的解法3，直接运用了图形的性质和直线的倾斜角的定义，得到了所求直线的倾斜角，进而得到了所求直线的斜率，解法1和解法2告诉我们：在用待定系数法求直线的方程时，要根据题设条件，灵活选择合适的方程形式，要清楚地掌握每种形式的局限性．