Question

如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在棱上．
（1）若，求证：直线平面；
（2）是否存在点，使平面⊥平面，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；
（3）请指出点的位置，使二面角平面角的大小为．

Answer 1

（1）略（2）不存在（3）点在棱上且

（1）证：连接交于点，            ……（1分）
在平行四边形中，
有，又                                          ……（2分）
∴为的中位线，从而，                         
又平面∴直线平面；                          ……（3分）
（2）解：假设存在点，使平面⊥平面，
过点作于，则平面，
又过作于，则平面，                   ……（5分）
而过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故、应重合于点，此时应有，故，
又点在棱上，故，
显然矛盾，故不存在这样的点，使平面⊥平面．         ……（7分）

（3）解：连接，过作于．由（2）中的作法可知
为二面角平面角，                                ……（8分）
设，则，                                                   
则可得，，
，                                  ……（10分）
∴．∴