Question

【题目】在平面直角坐标系中，①已知点，直线：，动点满足到点的距离与到直线的距离之比为；②已知圆的方程为，直线为圆的切线，记点到直线的距离分别为，动点满足；③点，分别在轴，轴上运动，且，动点满足．

（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点的轨迹方程；

（2）记（1）中的轨迹为，经过点的直线交于，两点，若线段的垂直平分线与轴相交于点，求点纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）不论选哪种条件，动点的轨迹方程（2）

【解析】

（1）选①,可以用直接法求轨迹方程，选②，可以用待定系数法求轨迹方程，选③，可以用代入法求轨迹方程；（2）设，当斜率不存在时，，当斜率不存在时，求出，得到或，综合即得解.

（1）若选①，

设，根据题意，，

整理得，

所以所求的轨迹方程为．

若选②，

设，直线与圆相切于点，

则，

由椭圆定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，

所以，

故，

所以所求的轨迹方程为．

若选③，

设，，，

则，

因为，

所以，

整理得，

代入得，

所以所求的轨迹方程为

（2）设，当斜率不存在时，，

当斜率存在时，

设直线的方程为，，，

由，消去并整理，

得，

恒成立，，

设线段的中点为，

则，

所以线段的垂直平分线方程为：

，

令，得，

当时，，

当且仅当时，取等号，所以；

当时，，

当且仅当时，取等号，所以；

综上，点纵坐标的取值范围是