Question

如图,正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=2,D是AB的中点,E是A₁C₁的中点,F是B₁B的中点,异面直线CF与DE所成的角为90°.

(1)求此三棱柱的高;

(2)求二面角C-AF-B的大小.

Answer 1

解法一:(1)取BC、C₁C的中点分别为H、N,连结HC₁交FC于M,连结FN交HC₁于点K,则点K为HC₁的中点,因FN∥HC,则△HMC∽△KMF,因H为BC中点,BC=AB=2,则KN=,

FK=,

    ∴===.

    则HM=HC₁,在Rt△HCC₁中,HC²=HM·HC₁,

    解得HC₁=,C₁C=2.

    (2)连结CD,易得CD⊥面AA₁B₁B,作DG⊥AF于G,连结CG,由三垂线定理得CG⊥AF,所以∠CGD是二面角C-AF-B的平面角.

    又在Rt△AFB中,AD=1,BF=1,AF=,

    从而DG=,

    ∴tan∠CGD==.

    故二面角CAFB的大小为arctan.

解法二:(1)取AC中点O,以OB为x轴,OC为y轴,按右手系建立空间坐标系,设棱柱高为h,则C(0,1,0),F(,0,),D(,-,0),E(0,0,h),

    ∴=(3,-1,),=(-,,h).

    由CF⊥DE,得·=--+=0,解得h=2.

    (2)∵平面ABF的法向量为=(-,,0),

    设平面ACF的法向量为n=(x,y,z),由n⊥及n⊥,得y=0及x-y+z=0.取n=(1,0,-),

    则cos〈n,〉=

    =

    =-.

    ∴二面角C-AF-B的大小为arccos.