Question

19．已知函数f（x）=2^|x|+1．
（1）作出其图象；
（2）由图象指出单调区间；
（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，求其最值，并写出值域．

Answer 1

分析 （1）将函数解析式化为分段函数的形式，再结合指数函数的图象，可得函数图象；
（2）由（1）中函数的图象可得单调区间；
（3）由（1）中函数的图象可得函数的最值和值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2^|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}{2}^{-x}+1，x＜0\\{2}^{x}+1，x≥0\end{array}\right.$，
故函数的图象如下图所示：

（2）由（1）中函数的图象可得：
函数f（x）=2^|x|+1的单调递减区间为（-∞，0]，
函数f（x）=2^|x|+1的单调递增区间为[0，+∞），
（3）由（1）中函数的图象可得：
函数f（x）=2^|x|+1在x=0时，取最小值2，无最大值，
故函数f（x）=2^|x|+1的值域为[2+∞）．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的图象和性质，难度中档．